Hipoteza continuum i poszukiwanie nieskończoności

Czym jest hipoteza continuum? Dlaczego matematycy od wielu lat debatują nad jej prawdziwością lub fałszywością?

Zapisz się
  • Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych
  • CH
  • 4  materiały filmowe
  • Nieograniczony dostęp

O wykładzie

Hipoteza continuum to jedna z największych trudności, przed jakimi matematycy stanęli pod koniec XIX wieku. Do dziś nie została ona rozstrzygnięta, co świadczy o złożoności tego problemu. Najprościej rzecz ujmując, można ją sformułować następująco:

(HC) Nie ma takiego zbioru liczb, którego liczebność byłaby większa od liczebności zbioru liczb naturalnych, a mniejsza od liczebności zbioru liczb rzeczywistych.

Jak wiadomo, oba zbiory są nieskończone. Każda liczba naturalna ma swój następnik, a mówiąc inaczej do każdej liczby naturalnej można dodać 1 i w ten sposób otrzymać liczbę większą. Podobnie sprawa ma się z liczbami rzeczywistymi. A jednak, tych ostatnich jest "więcej" niż naturalnych, i to o wiele więcej. Przecież liczby rzeczywiste to także liczby ujemne, a naturalne są jedynie dodatnie. Mimo, że mamy do czynienia z dwiema nieskończonościami, jedna jest większa (czy "wyższa") od drugiej. Tymczasem nieskończoność to nieskończoność - i trudno jedną z nieskończoności uznać za większą.

Twórca teorii mnogości, Georg Cantor, zastanawiał się, czy między tymi nieskończonościami jest miejsce na jakiś inny zbiór, i ostatecznie odpowiedział przecząco. Niestety ani jemu, ani jego następcom nie udało się tego udowodnić.

W wykładzie przedstawione zostają podstawy teorii mnogości, szczegółowo zaprezentowana jest hipoteza continuum, a także omówione zostają próby udowodnienia hipotezy lub jej negacji. Przez te zagadnienia przeprowadza nas prof. W. Hugh Woodin - jeden z najważniejszych współczesnych badaczy teorii mnogości.


Wykład został przetłumaczony i opracowany w ramach zadania "Przełomy w naukach matematyczno-fizycznych – cykl wykładów on-line na Copernicus College", finansowanego ze środków Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego przeznaczonych na działalność upowszechniającą naukę w ramach umowy 761/P-DUN/2019.

Program

  1. Wprowadzenie
  2. Próby rozwiązania: Gödel i Cohen
  3. Problemy szczegółowe
  4. Nowe propozycje
  5. Lektura uzupełniająca I
  6. Lektura uzupełniająca II

Wymagane umiejętności

Wskazana znajomość podstaw teorii mnogości.